[1] Considera un caminante aleatorio un caminante aleatorio en una red 1D sin fronteras, como en el notebook 4, pero para el cual también hay una probabilidad $r$ de que el caminante se quede en el mismo sitio en el cual está.
Escribe la ecuación maestra correspondiente.
[2] Implementa enumeración exacta para este caso.
[3] Saca resultados para distintos tiempos para la distribución de probabilidad (función de masa), empezando desde una distribución inicial concentrado en el punto central del sistema. Dibuja todos los resultados en una sola gráfica, dibujando $t^{1/2} P_t(x)$ en función de $x/t^{1/2}$. ¿Qué observas? ¿Cómo interpretas el resultado? ¿Tiene un nombre? Encuentra la expresión analítica.
[4] ¿Qué pasa si la condición inicial ahora tiene la probabilidad repartida entre varias celdas?
Nótese que en enumeración exacta, ¡nunca utilizamos números aleatorios!
Enumeración exacta también se puede aplicar para calcular propiedades de sistemas con absorción para calcular tiempos de primer paso (el tiempo para llegar a un sitio por primera vez), tal como estudiamos en la tarea 2. Esto se lleva a cabo como sigue.
[5] Implementa enumeración exacta para un caminante aleatorio en una red 1D con una frontera reflejante en $L$ y una frontera absorbente en $0$, como sigue.
Es decir, la probabilidad que llega a $0$ en el tiempo $t$ representa la probabilidad que se absorbe en ese tiempo (desaparece del sistema), que corresponde a la probabilidad de que el caminante llegue a 0 por primera vez ("tiempo de primer paso"). Esta probabilidad se guarda en un arreglo aparte. Luego a la $P_t(0)$ correspondiente se le asigna 0, lo cual corresponde al hecho de que la probabilidad desaparece del sistema.
¿Cómo se satisface la conservación de probabilidad en este caso?
[6] Utiliza tu código para calcular la distribución de probabilidad $f_T$ del tiempo de primer paso al origen, $T$, para distintos tamaños $L$, y grafícalas en una sola gráfica.
[7] ¿Qué observas? ¿Cómo se comparan los resultados con los de la tarea 2 (donde usamos un método tipo Monte Carlo)?